تمارين

تمارين
س1 / اذا كانت المتجهات: V1= (1,2,1,-1) , V2 =(1,0,2,-3) , V3 =(1,1,0,-2) من R4 . بين ان المتجه V= (2,1,5,-5) تركيب خطي من V1, V2, V3 .

س2/ اذا كان V1 = (1,2,-1) , V2 =( 1,0,-1) متجهين من R3 . هل ان المتجه V=(1,0,2) تركيب خطي من V1, V2 ؟ بين ذلك.


تعريف: اذا كانت S= { V1, V2,….,Vr} مجموعة من المتجهات فان المعادلة

يوجد لها على الاقل حل واحد هو {Ki=0} , i=1,2,…., r
فاذا كان الحل وحيد فان S تدعى مجموعة مستقلة خطياً واما اذا كانت هناك حلول اخرى فان S تدعى مجموعة غير مستقلة خطياً (مرتبطة خطياً).

مثال2/ المتجهات K= ( 0,0,1) , J= (0,1,0) , i= (1,0,0) المعادلة
K1(1,0,0)+ K2(0,1,0) + K3(0,0,1) =0 تكون تكافئ لـ (K1, K2, K3) = (0,0,0)
لذا فأن S= { I, J , K } مستقلة خطياً.
مثال3/ بين ان المتجهات V1= (1,1,0) , V2= (3,1,3) , V3= (5,3,3) معتمدة خطياً.
لنفرض ان K1, K2 , K3 I R وان K1 V1 + K V2 + KV2 =0
أي إن K1( 1,1,1,0) + K2(3,1,3) + K3(5,3,3) =(0,0,0)
ومنها نحصل على:
K1 + 3K2 + 5K3 = 0
K1 + K2 + 3K3 = 0
0 + 3K2 + 3K3 = 0
وبحل هذه المنظومة من المعادلات نحصل على :
K1 = -2K3 , K2 = -K3
واذا وضعنا K3 = 1 ينتج ان
K1 = -2 , K2 = -1
\ المتجهات مرتبطة خطياً.
ملاحظة:// ان محددة مصفوفة معاملات نظام المعادلات المتجانسة اعلاه = صفراً ( تحقق منها) وعليه فان للنظام عدد غير منته من الحلول.

تمرين //
س1/ بين فيما يلي ان المتجهات الاتية مرتبطة خطياً.
a. V1= (1,2) , V2 = (-3,-6)
b. V1= (2,1) , V2 =( 6,3)

س2/ هل ان المتجهات الاتية مستقلة خطياً أم لا؟ تفحص ذلك.
V1= (1,-2,3) , V2= (5,6,-1) , V3= (3,3,1)

((اسئلة متنوعة))
س1/ بين ان المتجه V= (7,-2,2) تركيب خطي للمتجهات
V1= (1,-1,0) , V2= (2,0,1) , V3=(2,0,1)

س2/ بين هل بالامكان كتابة المتجه V=( 3,-1,4)IR3 كتركيب خطي للمتجهات
V1=(1,-1,0) , V2= (0,1,1) V3=(3,-5,-2)

س3/ لديك الدوال f(x)=x2+x , g(x) =x+2 , k(x)= x3 , h(x)= 3x2+2x-2
في فضاء المتجهات ? ) F(-?, بين ان h(x) تركيب خطي لـ g(x), f(x) . هل ان
k(x) تركيباً خطياً للدالتين f(x), g (x) ؟

س4/ بين هل ان: Cos(3+x) تركيب خطي لكلاً من Sin x, Cosx