القيم المميزة والمتجهات المميزة

((القيم المميزة والمتجهات المميزة))
تعريف: لتكن A مصفوفة من الدرجة n يسمى العدد الحقيقي ? قيمة مميزة لمصفوفة A اذا وجد متجه غير صفري X بحيث ان AX=?X . يسمى X المتجه المميز لـ A.
ملاحظة: للنظام ( ? I – A)X =0 حل غير تافه اذا وفقط اذا كانت المصفوفة ?I-A ليس لها معكوس.
حيث ان I هي مصفوفة الوحدة .
أي اذا وفقط اذا كان det(?I – A) =0 فاذا كان ? مجهول فان det(?I – A) عبارة عن كثيرة حدود في المجهول ? تسمى كثيرة الحدود المميزة للمصفوفة A .
ولحساب القيم والمتجهات المميزة لمصفوفة مربعة A نتبع ما يلي:
أولاً: نحسب كثيرة الحدود المميزة h(?) = det (?I- A)
ثانيا: نحسب القيم المميزة للمصفوفة A وهي عبارة عن حلول المعادلة المميزة h(?)=0
ثالثاً: لكل قيمة مميزة ?i نحسب المتجه المميز المقابل لها وذلك بحل نظام المعادلات المتجانس (?iI-A) X=0
مثال1/ لتكن
أذن:

ومنها نجد:
(?-1)( ?-4)+2=?2-5?+6=0
ونحصل على ?1= 2 ?2 =3
الان نعين المتجه المميز للقيمة?1=2 فنعوض عنها في (?I-A) X=0
ونحصل على

أي
وهذا يكافئ
ومنه X1+X2=0
أي ان X1=-X2
اذن للنظام عدد لانهائي من الحلول ولذا فانه يوجد عدد لانهائي من المتجهات المميزة المقابلة للقيمة ?1=2
فاذا وصفنا X2=1 فان X1=-1 ونحصل على X=
وبنفس الطريقة نجد ان X= مقابل القيمة ?2= 3(( جرب ذلك ))
مثال2/ عين القيم والمتجهات المميزة للمصفوفة

( الحل بنفس الاسلوب للمثال الاول)
مبرهنة/ اذا كانت A مصفوفة من الدرجة n وكانت ?1,…. , ?k هي قيم A المميزة المختلفة وكانت X1,….,Xk هي المتجهات المميزة المقابلة للقيم المميزة فان
مستقلة خطياً نبرهنها باستخدام الاستقراء الرياضي على k .
س/ هل ان معكوس المبرهنة اعلاه صحيح؟ بين ذلك.
نتيجة: لتكن A مصفوفة من الدرجة n ، إذا كانت جميع القيم المميزة لها مختلفة فانه يوجد اساس للفضاء Rn عناصره متجهات مميزة.
البرهان: واجب.
مثال3/ في المثال السابق كان للمصفوفة A قيمتان ?1=2 و ?2= 3 وان متجهان مميزان مقابلان لهما. لذا فان
اساس للفضاء R2


تمرين/
س1/ جد قيم المميزة للمصفوفات الاتية:



س2/ جد المتجهات المميزة المقابلة للقيم المميزة للمصفوفات في السؤال السابق.