تكامل المتجهات

الكهرباء السكونية
القوانين العامة للكهرباء السكونية :
من الممكن ان نستبدل قانون كولون عن بعد بالمعادلات (1-9) (1-10) التي تدخل مفاهيم المجال والكمون الكهربائيين ومن هاتين الصيغتين يمكن ان نستنتج القوانين الاساسية للكهرباء السكونية ولكن هذه الطريقة تخالف الفكرة العامة التي هي وراء نظرية ماكسويل التي تستبعد التفاعل عن بعد ولاتقبل الا بالتفاعل المحلي ان نظرية ماكسويل تستند الى خصائص الوسط الذي تجري فيه الظواهر الكهربائية أي الاثير والاجسام الكهرنافذة ولكن التفاعل المحلي لايصاغ الا بعلاقات رياضية محلية بشكل معادلات تفاضلية جزئية لذلك يجب استبدال الصيغة (1-10) لدالة الكمون بتحديد تدخل فيه المعطيات المحلية فقط فنحصل هكذا على معادلات تفاضلية جزئية صالحة في كل الحالات وتدخل فيها كميات لها معنى فيزيائي .
كما يمكن ان نستخرج من هذه المعادلات التفاضلية الجزئية معادلات تكاملية تتفق مع نتائج نظرية التفاعل عن بعد في بعض الحالات الخاصة مثل حالة السكون الكهربائي هكذا يمكن ان نسنتج قانون كولوم مثلا من المعادلات التفاضلية الجزئية للمجال الكهربائي ولكن نظرية التفاعل عن بعد تعتبر صحيحة الا اذاكانت متفقة مع نظرية ماكسويل أي اذا كانت صيغ التفاعل عن بعد تتفق مع الصيغ التكاملية التي يمكن استخلاصها من المعادلات المحلية لنظرية المجالات لذلك يجب الانطلاق دائما من المعادلات المحلية للمجال الكهرمغناطيسي .
وفقا للمبدا الاساسي لنظرية ماكسويل يحدث توزيع الشحن الكهربائية تغييرا في الفضاء المحيط بها ويكون ذلك بتكوين المجال الكهربائي المحدد بالمتجه E المماسي لخط القوى في كل نقطة من الفضاء اما القوة التي تؤثر على شحنة الاختبار فهي :
F= q E
نشير الى ان q هي من مميزات شحنة الاختبار اما E فهو من خصائص الاجسام الاخرى . استنادا الى هذه المعادلة يمكن ان نحدد المجال الكهربائي لمجموعة من الاجسام في نقطة معينة من الفضاء بانه القوة التي تؤثر على وحدة الشحن الكهربائية الموضوعة ساكنة في هذه النقطة .
3- قانون كاوس :
لنفترض ان S هو سطح مغلق وان d S هو جزء تفاضلي من هذا السطح ليكن n متجه الوحدة العمودي على
d S باتجاه خارج السطح نحدد التدفق للمجال الكهربائي E على d S بانه E d S أي حاصل ضرب مساحة السطح التفاضلي باسقاط المجال الكهربائي على متجه الوحدة في النقطة الوسطية من d S .
مبرهنة كاوس :
ان تدفق المجال الكهربائي على البسطح المغلق S المحيط بالحجم V متناسب مع مجموع الشحن الكهربائية بداخلة







يحدد E0 دون التباس وحدة قياس الشحنة الكهربائية . فاذا اخترنا 1=E0 نحصل على ما يسمى نظام الوحدات الكهربائية السكونية الذي يسهل كتابة كثير من الصيغ .
اما اذا كانت الشحن الكهربائية موزعة توزيعا متواصلا بكثافة حجمية P فيصبح كاوس

ولكن قاعدة غرين الرياضية تتيح لنا ان نكتب



فيتخذ قانون كاوس الصيغة المحلية :
نشير هنا الى ان قانون كاوس هو قانون تجريبي يمكن التاكد من صحته مباشرة بقياس الشحن الكهربائية بواسطة اسطوانة فاراداي والمجال الكهربائي بواسطة شحنة اختبار والاهم من ذلك ان صحة هذا القانون مثبتة باتفاق جميع نتائجه معالتجربة ومنها طبعا قانون كولون .
4- تطبيقات المجال الكهربائي على سطوح المعادن والضغط الكهربائي :
5- لنفترض ان الشحن الكهربائية موزعة على السطح بكثافة سطحية ( أي الشحنة الكهربائية في وحدة المساحة ) لنكتب قانون كاوس على اسطوانة