التركيب الخطي

(( التركيب الخطي ))
تعريف: يدعى المتجه U تركيب خطي من المتجهات V1,V2,….Vr اذا كان ممكن كتابته بالشكل
U= K1 V1 + K2K2 +……..+Kr Vr
حيث ان K1 , K2, ……, Kr اعداد ثابتة.
مثال 1/ اذا كان U1= (6,4,2) , U2 =(1,2,-1) متجهين بين هل ان المتجه V= (9,2,7) تركيب خطي منهما؟
الحل/ كي يكون V تركيباً خطياً من U1, U2 يجب وجود اعداد K 1 , K2 (ثابتة) بحيث:
V= K1 U1 +K2 U2
أي : (9,2,7) = K1 (6,4,2) + K2 (1,2,-1) ومنها
9= 6K1 + K2………………(1)
2= 4K1 + 2K2 …………….(2)
7= 2K1 – K2 ………………(3)
بجمع (1) و(3) نحصل على K1=2
وبالتعويض في المعادلة (1) K3=-3
V = 2 U1 – 3 U2 ?
تركيبة خطية
تمرين//
س1 / اذا كانت المتجهات: V1= (1,2,1,-1) , V2 =(1,0,2,-3) , V3 =(1,1,0,-2) من R4 . بين ان المتجه V= (2,1,5,-5) تركيب خطي من V1, V2, V3 .
س2/ اذا كان V1 = (1,2,-1) , V2 =( 1,0,-1) متجهين من R3 . هل ان المتجه V=(1,0,2) تركيب خطي من V1, V2 ؟ بين ذلك.

تعريف: اذا كانت S= { V1, V2,….,Vr} مجموعة من المتجهات فان المعادلة

يوجد لها على الاقل حل واحد هو {Ki=0} , i=1,2,…., r
فاذا كان الحل وحيد فان S تدعى مجموعة مستقلة خطياً واما اذا كانت هناك حلول اخرى فان S تدعى مجموعة غير مستقلة خطياً (مرتبطة خطياً).

مثال2/ المتجهات K= ( 0,0,1) , J= (0,1,0) , i= (1,0,0) المعادلة
K1(1,0,0)+ K2(0,1,0) + K3(0,0,1) =0 تكون تكافئ لـ (K1, K2, K3) = (0,0,0)
لذا فأن S= { I, J , K } مستقلة خطياً.
مثال3/ بين ان المتجهات V1= (1,1,0) , V2= (3,1,3) , V3= (5,3,3) معتمدة خطياً.
لنفرض ان K1, K2 , K3 ? R وان K1 V1 + K V2 + KV2 =0
أي إن K1( 1,1,1,0) + K2(3,1,3) + K3(5,3,3) =(0,0,0)
ومنها نحصل على:
K1 + 3K2 + 5K3 = 0
K1 + K2 + 3K3 = 0
0 + 3K2 + 3K3 = 0
وبحل هذه المنظومة من المعادلات نحصل على :
K1 = -2K3 , K2 = -K3
واذا وضعنا K3 = 1 ينتج ان
K1 = -2 , K2 = -1
? المتجهات مرتبطة خطياً.
ملاحظة:// ان محددة مصفوفة معاملات نظام المعادلات المتجانسة اعلاه = صفراً ( تحقق منها) وعليه فان للنظام عدد غير منته من الحلول.