الجملة المفتوحة

المتغير: هو حرف او رمز اخر من الممكن ان يمثل عناصر متعددة من مجموعة شاملة ما .
الجملة المفتوحة : لتكن A مجوعة ما وليكن P(X) تعبير ما في متغير X فانP(X) تسمى جملة مفتوحة في X معرفة على A (دالة صائبة) اذا وفقط اذا كانت P(a) عبارة صائبة او خاطئة لكن a?A
مجموعة الحل : لتكن P(X) جملة مفتوحة في X معرفة في مجموعة A ولتكن a?A اذا كانت P(a) عبارة صائبة تسمى a حلاً للجملة المفتوحة P(X) وان مجموعة كل الحلول لـ P(X) تدعى مجموعة الحلول للجملة المفتوحة ورمزها TP
المسور الكلي : (ورمزه?)
لتكن P(X) جملة مفتوحة في X على المجموعة A فان العبارة لكل A X ? تكون P(X) صائبة تسمى عبارة مسورة كلياً وبالرموز تكتب
?X?A; P(X)
وتكون صائبة اذا وفقط اذا كان TP=A
المسور الجزئي : (ورمزه?)
لتكن P(X) جملة مفتوحة في X على المجموعة A , فان العبارة (يوجد A X ? بحيث P(X) صائبة ) تدعى عبارة مسورة جزئياً وتكتب بالرموز ?X?A P(X)
وتكون صائبة اذا كانت مجموعة قيم الصدق وغير خالية اي TP??
نفي العبارات التي تحتوي المسورات : اذا كانت Aمجموعة ما , P(X) جملة مفتوحة في X معرفة على A فان:

1- ~(?X?A; P(X))? ?X?A ,~ P(X)
2-~(?X?A P(X))? ?X?A,~ P(X)
التعليل المنطقي: لتكن S1,S2,……Sn)) مجموعة من العبارات ولتكن S عبارة ممكن استنتاجها من S1,S2,……Sn)) ان العبارة (S تستنتج من S1,……Sn ) تدعى محاورة او مجادلة Argument وان S1,S2,……Sn)) تسمى المقدمات او الفرضيات وs تسمى النتيجة سترمز للمجادلة كما يلي : (S (S1?S2?……?Sn
(S (S1,S2,……,Snوان المجادلة اما ان تكون صائبة او غير صائبة ( مغالطة)

مثال: لناخذ العبارة الاتية :
بعض الرياضيون رسامون S1 الفرضيات
علي رياضي S2
? علي رسام S النتيجة
وعليه فان المجادلة S S1,S2 غير صائبة (مغالطة)
مبرهنة // اية مجموعة X هي مجموعة جزئية من نفسها ((برهن ذلك)).
مبرهنة // المجموعة الخالية وحيدة .
البرهان: لنفرض ان هناك مجموعتين خاليتين 2? و1? فاذا كان 2? ? 1? فان ذلك يحتم وجود عنصر في 1? لا ينتمي الى 2? او وجود عنصر في 2? لا ينتمي الى 1? خلاف الفرض لان كلاهما مجموعة خالية وعلية فان 2?=1? .
مبرهنة // لتكن Aمجموعة ما , فان A ? ? البرهان : المطلوب برهانه :
X ? ? X?A
سنبرهن على المعاكس الايجابي

X ? ? X?A

واضح ان ? ? X لان ? خالية
X ? ? X?A
اي ان : X ?A X ? ?
A ? ?
مبرهنة // اذا كانت X1 ? Y1 : و X2 ? Y2 فان :
Y1 ? Y2 ? X2 ? X1
البرهان حسب تعريف التقاطع والمجموعة الجزئية نحصل على :
X ? X1 ? X2 X ? X1 ? X ? X2
X ? Y1 ? X ? Y2
X ? Y1 ? Y2
وهكذا فان : Y1 ? Y2 ? X1 ? X2




اسئلة متنوعة:
س1: اثبت ان :
P (q ? r)? (p q) ? (p r)

س2/بسط العبارات الاتية :
1- (p ? q) ? ~ p
2-~(p?~q)
3-~(p q)
4-( p ? q) ? ( ~ p ? ~ q )
5-~(p q)

س3/اثبت العبارة:
?x?R,?y?R,y+x=y