العبارات وجداول الصدق

العبارات وجداول الصدق
مراجعة لما سبق ان درسه الطالب
العبارة : هي جملة خبرية مفيدة ذات معنى تحتمل الصواب او الخطأ ولا يمكن ان تكون خاطئة وصائبة في ان واحد وتسمى قيم صواب العبارة او خطئها (قيم الصدق).
نرمز T لصواب العبارة , F لخطأ العبارة.
العبارة البسيطة :هي عبارة قائمة بذاتها ولايمكن تجزئتها الى عبارتين او اكثر مرتبطتين بإحدى أدوات الربط.
العبارة المركبة : هي عبارة مؤلفة من ارتباط عبارتين او أكثر بإحدى أدوات الربط وصدق العبارة يتوقف على قيم صدق العبارات المؤلفة لها ونوع أداة الربط التي تربط بين مكوناتها ليكن كلاً من , P Q عبارة بسيطة فانه يمكن الحصول على عبارات مركبة باستعمال الأدوات المنطقية و (?) أو(?) , وإذا كان فان اذا وفقط والتي سبق وان تعرف الطالب على جداول صدقها في دراسته السابقة وأدناه الجدول الأتي يبين جدول قيم الصدق للعبارات المركبة :
P ? Q , P ? Q , P Q , P Q
العبارة الشرطية الثنائية العبارة الشرطية
P Q
P Q
P ? Q P ? Q Q P
T T T T T T
F F T F F T
F T T F T F
T T F F F F

أمثلة توضيحية :لتكوين جدول صدق العبارات المركبة الآتية :
a- (p q) (q ~ p)
b- (p ? q) r

تمرين:

س1/ اكتب جدول الصدق للعبارات الاتية :
1- ( P ? q) (P ? q)
2- (p q)?~ (p q)
س2/ اثبت ان :
1-~(~P q) ? (p q)
2- P q ? (~p ~ q)

















المحاضرة الثانية : جبر العبارات
التعاريف:
ملاحظة : اذا كانت P عبارة فأن نفيها يكتب ~ P
التتولوجي (تحصيل حاصل) : اذا كانت عبارة مركبة صادقة بغض النظر عن قيمة صدق مكوناتها فتسمى (تحصيل حاصل )
مثال العبارة ~ P) P ?) تحصيل حاصل.
التناقض : اذا كانت عبارة مركبة كاذبة بغض النضر عن قيم صدق مكوناتها فإنها تدعى تناقضاَ
مثال العبارة ~ P) P ?) تناقض.
الاقتضاء المنطقي : لتكن كل من P / ? عبارة يقال ان العبارة P تقتضي منطقياً العبارة ? ( او ? تستنتج منطقياً من P ) اذا وفقط اذا كانت العبارة ?
? P تتولوجي ويعبر عن ذلك بـ ? P
العبارة P ? تدعي معكوس (inverse) العبارة ? P مع ملاحظة ان العبارة ومعكوسها غير متكافئتين بصورة عامة اي ان (P ?)? (? P )
التكافؤ المنطقي لتكن كل من P وq عبارة يقال ان العبارة P تكافئ العبارة q منطقياً اذا وفقط اذا كان جدول الصدق P هو نفسه جد\ول صدق q ونكتب كذلك كالاتي p ? q .
العبارة ~P ?~ تعني المعاكس الايجابي (contra positive) للعبارة P ? لاحظ ان (NP ?N)? Q P (متكافئتان منطقياً)
وان : ~P ? ~ ? ? P ? ~? ? P








قوانين جبر العبارات : يمكن برهنتها بعمل جداول قيم الصدق للعبارات :


قانون اللانمو لتكن p عبارة فان :
1- P ? P? P
2- P ? P? P

قانون الابدال لتكن كلاً من q , p عبارة فان :

1- P ? P ? q ? p
2- p ? q ? q ? p
3- قانون التجميع :لتكن r,q,p ثلاث عبارات فان :
1- p ? (q ? r ) ? (p ? q) ? r
2- p ? (q ? r ) ? (p ? q) ? r
التوزيع : لتكن كل من r , q , p عبارة فان :
1- p ? (q ? r ) ? (p ? q) ? (p ? r)
2- p ? (q ? r ) ? (p ? q) ? (p ? r)
قانون دي مورغان لتكن q , p عبارتين فان:

1- ~ (p ? q ) ? ~p ? ~q
2- ~ (q ? r ) ? ~p ? ~q
الامتصاص لتكن كلاً q , p عبارة فان :

1- p ? (p ? q ) ? p
2- p ? (q ? q ) ? p

الذاتية : لتكن p عبارة ما فان :
1- p ? O ? O
2- p ? I ? p
3- p ? O ? p
4- p ? I ? I


المتممة: لتكن P عبارة فأن

1- ~(~p ) ? P
2- p ? ~P ? O
3- p ? ~P ? I
4- ~ I ? O , ~O ? I




تمرين:
اثبت ان العبارة الآتية تحصيل حاصل : (p q)?~ (p q)
اثبت ان العبارة الآتية تناقض:[ (p q)?~ p ]?~p








المحاضرة الثالثة :
المتغير: هو حرف او رمز اخر من الممكن ان يمثل عناصر متعددة من مجموعة شاملة ما .
الجملة المفتوحة : لتكن A مجوعة ما وليكن P(X) تعبير ما في متغير X فانP(X) تسمى جملة مفتوحة في X معرفة على A (دالة صائبة) اذا وفقط اذا كانت P(a) عبارة صائبة او خاطئة لكن a?A
مجموعة الحل : لتكن P(X) جملة مفتوحة في X معرفة في مجموعة A ولتكن a?A اذا كانت P(a) عبارة صائبة تسمى a حلاً للجملة المفتوحة P(X) وان مجموعة كل الحلول لـ P(X) تدعى مجموعة الحلول للجملة المفتوحة ورمزها TP
المسور الكلي : (ورمزه?)
لتكن P(X) جملة مفتوحة في X على المجموعة A فان العبارة لكل A X ? تكون P(X) صائبة تسمى عبارة مسورة كلياً وبالرموز تكتب
?X?A; P(X)
وتكون صائبة اذا وفقط اذا كان TP=A
المسور الجزئي : (ورمزه?)
لتكن P(X) جملة مفتوحة في X على المجموعة A , فان العبارة (يوجد A X ? بحيث P(X) صائبة ) تدعى عبارة مسورة جزئياً وتكتب بالرموز ?X?A P(X)
وتكون صائبة اذا كانت مجموعة قيم الصدق وغير خالية اي TP??
نفي العبارات التي تحتوي المسورات : اذا كانت Aمجموعة ما , P(X) جملة مفتوحة في X معرفة على A فان:

1- ~(?X?A; P(X))? ?X?A ,~ P(X)
2-~(?X?A P(X))? ?X?A,~ P(X)
التعليل المنطقي: لتكن S1,S2,……Sn)) مجموعة من العبارات ولتكن S عبارة ممكن استنتاجها من S1,S2,……Sn)) ان العبارة (S تستنتج من S1,……Sn ) تدعى محاورة او مجادلة Argument وان S1,S2,……Sn)) تسمى المقدمات او الفرضيات وs تسمى النتيجة سترمز للمجادلة كما يلي : (S (S1?S2?……?Sn
(S (S1,S2,……,Snوان المجادلة اما ان تكون صائبة او غير صائبة ( مغالطة)

مثال: لناخذ العبارة الاتية :
بعض الرياضيون رسامون S1 الفرضيات
علي رياضي S2
? علي رسام S النتيجة
وعليه فان المجادلة S S1,S2 غير صائبة (مغالطة)
مبرهنة // اية مجموعة X هي مجموعة جزئية من نفسها ((برهن ذلك)).
مبرهنة // المجموعة الخالية وحيدة .
البرهان: لنفرض ان هناك مجموعتين خاليتين 2? و1? فاذا كان 2? ? 1? فان ذلك يحتم وجود عنصر في 1? لا ينتمي الى 2? او وجود عنصر في 2? لا ينتمي الى 1? خلاف الفرض لان كلاهما مجموعة خالية وعلية فان 2?=1? .
مبرهنة // لتكن Aمجموعة ما , فان A ? ? البرهان : المطلوب برهانه :

X? ? X?A
سنبرهن على المعاكس الايجابي

X ? ? X?A

واضح ان ? ? X لان ? خالية
X ? ? X?A
اي ان : X ?A X ? ?
A ? ?
مبرهنة // اذا كانت X1 ? Y1 : و X2 ? Y2 فان :
Y1 ? Y2 ? X2 ? X1
البرهان حسب تعريف التقاطع والمجموعة الجزئية نحصل على :
X ? X1 ? X2 X ? X1 ? X ? X2
X ? Y1 ? X ? Y2
X ? Y1 ? Y2
وهكذا فان : Y1 ? Y2 ? X1 ? X2




اسئلة متنوعة:
س1: اثبت ان :
P (q ? r)? (p q) ? (p r)

س2/بسط العبارات الاتية :
1- (p ? q) ? ~ p
2-~(p?~q)
3-~(p q)
4-( p ? q) ? ( ~ p ? ~ q )
5-~(p q)

س3/اثبت العبارة:
?x?R,?y?R,y+x=y


البرهان الرياضي : اذا كانت المجاورة S S1,S2,……Sn صائبة فانها تسمى البرهان .
انواع البرهان جمل من نوع p Q
1-قاعدة البرهان الاشتراطي :
مثال برهن : a2 عدد زوجي a عدد زوجي
البرهان : نفرض ان a عدد زوجي
? a=2k حيث k عدد صحيح
نربع الطرفين نحصل على : a2=(2k)2=4k2
=2(2k)2
2k2 عدد صحيح a2 عدد زوجي
2- طريقة المعاكس الايجابي :
سؤال برهن: a عدد زوجي a2 عدد زوجي (واجب)


س/ بسط العبارات الاتية دون جدول :Q 1:
ملاحظة :
1- P q?~P?q
2- P q? P q ? q p
a-~(p q)
p q ? ~ p ? q
~ (p q) ? ~(~p ? q)
?~ (~ p) ? ~ q ? p ? ~ q ? p ? ~ q

b- ~ ( p Q) ? Q ? ~ ( ~ P ? Q) ? Q
? (P ? ~ Q) ? Q ? P? (~ Q ? Q)
تناقض ? P ? 0 ? 0

اثبت ان : Q2:

P (q ? r) ? (p q) ? (p r)

(7) ? (6) P r
P q
(4) (1)
q ? r r q p
T T T
F T T
T F T
F F T
T T F
F T F
T F F
F F F





بين ان العبارة الاتية تحصيل حاصل : Q3
[( ~ p ? q) ? p] ~ p ~
(6) (3)
(5)~ ~ p ? q) ? p ~ p ? q ~ p q p
T F T F F T T
T F T F F F T
T F T T T T F
T T F F T F F