جبر العبارات / الفصل الأول

جبر العبارات / الفصل الأول
تعاريف وملاحظات
العبارة هي جملة خبرية مفيدة وتكون اما صائبة او خاطئة ولا يمكن ان تكون خاطئة وصائبة في وقت واحد .
ملاحظة : اذا كانت P عبارة فأن نفيها يكتب ~ P
التتولوجي (تحصيل حاصل) : اذا كانت عبارة مركبة صادقة بغض النظر عن قيمة صدق مكوناتها فتسمى (تحصيل حاصل )
مثال العبارة ~ P) P ?) تحصيل حاصل.
التناقض : اذا كانت عبارة مركبة كاذبة بغض النضر عن قيم صدق مكوناتها فإنها تدعى تناقضاَ
مثال العبارة ~ P) P ?) تناقض.
الاقتضاء المنطقي : لتكن كل من P / ? عبارة يقال ان العبارة P تقتضي منطقياً العبارة ? ( او ? تستنتج منطقياً من P ) اذا وفقط اذا كانت العبارة ?
? P تتولوجي ويعبر عن ذلك بـ ? P
العبارة P ? تدعي معكوس (inverse) العبارة ? P مع ملاحظة ان العبارة ومعكوسها غير متكافئتين بصورة عامة اي ان (P ?)? (? P )
التكافؤ المنطقي لتكن كل من P وq عبارة يقال ان العبارة P تكافئ العبارة q منطقياً اذا وفقط اذا كان جدول الصدق P هو نفسه جد\ول صدق q ونكتب كذلك كالاتي p ? q .
العبارة ~P ?~ تعني المعاكس الايجابي (contra positive) للعبارة P ? لاحظ ان (NP ?N)? Q P (متكافئتان منطقياً)
وان : ~P ? ~ ? ? P ? ~? ? P
المتغير: هو حرف او رمز اخر من الممكن ان يمثل عناصر متعددة من مجموعة شاملة ما .
الجملة المفتوحة : لتكن A مجوعة ما وليكن P(X) تعبير ما في متغير X فانP(X) تسمى جملة مفتوحة في X معرفة على A (دالة صائبة) اذا وفقط اذا كانت P(a) عبارة صائبة او خاطئة لكن a?A
مجموعة الحل : لتكن P(X) جملة مفتوحة في X معرفة في مجموعة A ولتكن a?A اذا كانت P(a) عبارة صائبة تسمى a حلاً للجملة المفتوحة P(X) وان مجموعة كل الحلول لـ P(X) تدعى مجموعة الحلول للجملة المفتوحة ورمزها TP
تمرين
س1/ اكتب جدول الصدق للعبارات الاتية :
1- (P?q) (P?q)
2- (p q)?~ (p q)
س2/ اثبت ان :
1-~(~P q)? (p q)
2- p q ? (~p ~q)
س3/اثبت ان العبارة الآتية تحصيل حاصل : (p q)?~ (p q)
س4/اثبت ان العبارة الآتية تناقض:[ (p q)?~ p ]?~p

المسور الكلي : (ورمزه?)
لتكن P(X) جملة مفتوحة في X على المجموعة A فان العبارة لكل A X ? تكون P(X) صائبة تسمى عبارة مسورة كلياً وبالرموز تكتب
?X?A; P(X)
وتكون صائبة اذا وفقط اذا كان TP=A
المسور الجزئي : (ورمزه?)
لتكن P(X) جملة مفتوحة في X على المجموعة A , فان العبارة (يوجد A X ? بحيث P(X) صائبة ) تدعى عبارة مسورة جزئياً وتكتب بالرموز ?X?A P(X)
وتكون صائبة اذا كانت مجموعة قيم الصدق وغير خالية اي TP??
نفي العبارات التي تحتوي المسورات : اذا كانت Aمجموعة ما , P(X) جملة مفتوحة في X معرفة على A فان:

1- ~(?X?A; P(X))? ?X?A ,~ P(X)
2-~(?X?A P(X))? ?X?A,~ P(X)
س/ اكتب قوانين جبر العبارات بالرموز ( واجب)
التعليل المنطقي: لتكن S1,S2,……Sn)) مجموعة من العبارات ولتكن S عبارة ممكن استنتاجها من S1,S2,……Sn)) ان العبارة (S تستنتج من S1,……Sn ) تدعى محاورة او مجادلة Argument وان S1,S2,……Sn)) تسمى المقدمات او الفرضيات وs تسمى النتيجة سترمز للمجادلة كما يلي : (S (S1?S2?……?Sn
(S (S1,S2,……,Snوان المجادلة اما ان تكون صائبة او غير صائبة ( مغالطة) مثال: لناخذ العبارة الاتية :
بعض الرياضيون رسامون S1 الفرضيات
علي رياضي S2
? علي رسام S النتيجة
وعليه فان المجادلة S S1,S2 غير صائبة (مغالطة)
تعريف // البرهان الرياضي : اذا كانت المجاورة S S1,S2,……Sn صائبة فانها تسمى البرهان .
انواع البرهان جمل من نوع p Q
1-قاعدة البرهان الاشتراطي
مثال برهن : a2 عدد زوجي a عدد زوجي
البرهان : نفرض ان a عدد زوجي
? a=2k حيث k عدد صحيح
نربع الطرفين نحصل على : a2=(2k)2=4k2
=2(2k)2
2k2 عدد صحيح a2 عدد زوجي
2-طريقة المعاكس الايجابي
سؤال برهن: a عدد زوجي a2 عدد زوجي (واجب)
اسئلة اضافية
س1/ برهن اذا كان a عدد فردي , b عدد زوجي فان abعدد زوجي
س2/ اثبت ان :
p (q ? r)?(p q) ? (p r)
س3/بسط العبارات الاتية :
1- (p ? q) ? ~ p
2-~(p?~q)
3-~(p q)
4-( p ? q) ? ( ~ p ? ~ q )
5-~(p q)
س4/اثبت العبارة:
?x?R,?y?R,y+x=y
س5/ اي من العبارات الاتية تحصيل حاصل :
a-(p q) ( P ? ~Q )
b-( p ? ~Q) ( ~ p ? ~ Q )
c-[(p Q) ? p ] ? ~Q
d-[(p Q) ? (R Q)] [(P ? R) Q]
س6/ جد مايلي:
a-~(?x?R,?y?R ,y+x=y)
b-~(?x?N,2x+5>4)
س7/ اذا كانت: A=[0,1,2] هل ان العبارة الاتيىة صائبة :

?x?A ,?y?A ,x+y=y+x بين ذلك