المتذبذب التوافقي

المتذبذبالتوافقيHarmonic Oscillator

أولاً : معادلة شرودنجر للمتذبذب التوافقيS.E. of H.O.
لصياغة معادلة شرودنجر للمتذبذب التوافقي علينا أن نكتب معادلة الطاقة الكلية (الهاملتونيان):
H=E=T+V=p^2/2m+1/( 2 ) kx^2 ?(?=?(k/( m )) ?k=m?^2 )
?E=p^2/2m+1/( 2 ) m?^2 x^2 …?
المعادلة الأخيرة في بعد واحد فقط x أذن مؤثر الزخم يكون كما يلي :
p ?=-i? d/dx ? p ?^2=-?^2 d^2/?dx?^2
نعوض المؤثر p ?^2 في المعادلة ? لنحصل على :
E=-?^2/2m d^2/?dx?^2 +1/( 2 ) m?^2 x^2 …??
الآن نضرب طرفي المعادلة ?? في الدالة الموجية ?(x) فيكون مايلي :
[-?^2/2m d^2/?dx?^2 +1/( 2 ) m?^2 x^2 ]?(x)=E?(x)
وهذه هي معادلة شرودنجر غير المعتمدة على الزمن للمتذبذب التوافقي.

ثانياً : المؤثرات الرافعة و الخافضةRaising and Lowering Operators
يرمز للمؤثر الرافع بـ(a_+ ) والمؤثر الخافض بـ(a_- ) و قيمتهماهي:
a_+=1/?2m?? (-ip ?+m?x)=1/?2m?? (-? d/dx+m?x)
a_-=1/?2m?? (ip ?+m?x)=1/?2m?? (? d/dx+m?x)
يسمى المؤثر الرافع بهذا الأسم لأنه يرفع طاقة الجسيم المتذبذب توافقياً بمقدار ?? , و المؤثر الخافض لأنه يخفض الطاقة بمقدار ?? .
ثالثاً : أيجاد مؤثر الهاملتونيان (الطاقة الكلية) بدلالة المؤثران الرافع والخافض
لنفرض أن هناك دالة موجية هي f(x) و لندخل عليها مؤثر (a_- ) ثم (a_+ ) كما يلي :
a_+ a_- f(x)=[1/?2m?? (-? d/dx+m?x) ][1/?2m?? (? d/dx+m?x) ]f(x)
a_+ a_- f(x)=1/2m?? (-? d/dx+m?x)(? d/dx+m?x)f(x)
a_+ a_- f(x)=1/2m?? [-?^2 (d^2 f(x))/?dx?^2 -?m? d/dx (xf(x) )+?m?x df(x)/dx+m^2 ?^2 x^2 f(x) ]
= 1/2m?? [-?^2 (d^2 f(x))/?dx?^2 -?m?(x df(x)/dx+f(x) )+?m?x df(x)/dx+m^2 ?^2 x^2 f(x) ]
a_+ a_- f(x)=1/2m?? [-?^2 (d^2 f(x))/?dx?^2 -?m?f(x)+m^2 ?^2 x^2 f(x) ]
الآن علينا أن نضرب طرفي المعادلة في ??و مع بعض التقديم و التأخير لنحصل على ما يلي :
??a_+ a_- f(x)=1/2m [-?^2 (d^2 f(x))/?dx?^2 +m^2 ?^2 x^2 f(x)-?m?f(x) ]
??a_+ a_- f(x)=-?^2/2m (d^2 f(x))/?dx?^2 +1/( 2 ) m?^2 x^2 f(x)-??/2 f(x)
-?^2/2m (d^2 f(x))/?dx?^2 +1/( 2 ) m?^2 x^2 f(x)=??a_+ a_- f(x)+??/2 f(x)
?(-?^2/2m (d^2 f(x))/?dx?^2 +1/( 2 ) m?^2 x^2 f(x)=H ?f(x)=Ef(x)أنننسى لا)
?H ?f(x)=??a_+ a_- f(x)+??/2 f(x)=??(a_+ a_-+1/( 2 ))f(x)
H ?f(x)=??(a_+ a_-+1/( 2 ))f(x)??(?(H ?=??(a_+ a_-+1/( 2 )) ))