محاضرة 4

استاذ عدي صبري عبدالرزاق جبر خط مبرهنة : لتكن كل من A , B مجموعة فان :
a: A ? B ? A , A ? B ? B
b: A ? B A ? B = A
برهان a: لك نبرهن ان A ? B ? A
نفرض ان X ? A ? B
الان :
X ? A ? B X ? A ? X ? B
X ? A
أي ان : A ? B ? A
وبنفس الطر قٌة نبرهن على A ? B ? B
برهان b : نفرض ان A ? B
وان: X ? A
نفرض ان X ? A x ? B
X ? A ? x ? B
أي ان :
X ? A X ? A ? X ? B
X ? A ? B
A ? A ? B
A ? B ? A
A ? B = A
وبصورة معاكسة نفرض ان A ? B = A
استاذ عدي صبري عبدالرزاق جبر خط A ? B ? B
A ? B
مبرهنة : لتكن A ا ةٌ مجموعة فان :
a: A ? ? = ? b: A ? U = A
: تمثل المجموعة الشاملة )الكل ةٌ( U
برهان a :
? ? A
? ? A =?
A ? U
A ? U = A
مبرهنه: لتكن كل A , B مجموعة فان :
a: A ? A U B ? B ? A U B
b: A ? B A U B = B
برهان a:
A ? A U B
نفرض ان : X ? A
X ? A X ? A ? X ? B
X ? A U B
A ? A U B
وبصورة مماثلة نبرهن ان B ? A U B
استاذ عدي صبري عبدالرزاق جبر خط برهان b:
نفرض ان: A ? B
وان: X ? A U B
الان X ? A U B X ? A ? X ? B
X ? B ? X ? B
X ? B
A U B ? B
B ? A U B
A U B = B
وبصورة معاكسة نبرهن ان :
A U B = B
a من الفرع A ? A U B
A ? B
اذا كانت) A ,B ( مجموعة فبرهن على ان : Q1
A – B = Bc - Ac
البرهان نفرض ان :
X ? A – B
X ? A – B X ? A ? X ? B
X ? Ac ? X ? Bc
X ? Bc ? X ? Ac
X ? Bc - Ac
استاذ عدي صبري عبدالرزاق جبر خط A – B ? Bc - Ac …………(1)
وبصورة مماثلة نبرهن على ان :
Bc - Ac ? A – B ………...(2)
ومن ) 1( و) 2( نستنتج على
A – B ? Bc - Ac
اثبت ان = ? Q 2: A ? Ac
البرهان : حسب تعريف الفرق بين مجموعتين )الفضلة(
A ? Ac = A – A
اي ان A ? Ac = [ X I X ? A ? X ? A ]
ولكنه لا وٌجد عنصر X متمم A وف الوقت نفسه غ رٌ موجود ف A لذا :
A ? Ac = ?
Q 3: ا ةٌ مجموعة فان A لتكن
a: A ? ? = ? , b: A ? U = A
ه المجموعة الشاملة ) الكل ةٌ( U ح ثٌ
a برهان : ? ? A
? ? A = ?
b برهان : A ? U
A ? U = A
لتكن كل من ) A ,B ( مجموعة فبرهن على ان Q 4:
a: A ? A U B ? B ? A U B
b: A ? B A U B = B
استاذ عدي صبري عبدالرزاق جبر خط a برهان : A ? A U B كي نبرهن ان :
X ? A : نفرض ان
X ? A X ? A ? X ? B
X ? A U B
A U B A ?
وبصورة مماثلة نبرهن ان : A U B B ?
b برهان : A ? B نفرض ان :
X ? A U B : و ان
X ? A U B X ? A ? X ? B
X ? B ? X ? B
X ? B
B A U B ?